INECUACIONES.

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o  se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y , una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional: .
• Ejemplo de inecuación condicional: .

Ejercicios:

1.

2.

3.

4.Resuelve el sistema: 

(x +1) · 10 + x ≤ 6 (2x + 1)

10x + 10 + x ≤ 12 x + 6

10 x + x - 12x ≤ 6 - 10

−x ≤ − 4       x ≥ 4

5.7x² + 21x − 28 < 0

x² +3x − 4 < 0

x² +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)² +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 0² +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 3² +3 · 3 − 4 > 0

6.−x² + 4x − 7 < 0

x² − 4x + 7 = 0

P(0) = −0² + 4 ·0 − 7 < 0

S = 

7.

P(−3) = 4 · (−3)² − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 ² − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 ² − 16 > 0

8.

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el signo del 2º factor.

P(−17) = (−17) ² + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 0² + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 ² + 12 · 5 − 64 > 0

9.x⁴ − 25x² + 144 < 0

x⁴ − 25x² + 144 = 0

10.x⁴ − 16x² − 225 ≥ 0 

x⁴ − 16x² − 225 = 0 

(x² - 25) · (x² + 9) ≥ 0

El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1^er factor.

(x² − 25) ≥ 0

Resolver:

  

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

Ejemplos:

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: .

• • De dos incógnitas. Ejemplo: .
  • De tres incógnitas. Ejemplo: .
  • etc.

• Según la potencia de la incógnita,
• De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: .
• De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: .
• De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: .
• etc.

Inecuaciones de primer grado

Las desigualdades de primer grado se resuelven igual que las ecuaciones de primer grado, la solución va a cambiar dependiendo de la notación que tenga la desigualdad.

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita

Cuando tenemos un sistema de desigualdades resolvemos cada una de ellas por separado, la solución va a ser la común a las desigualdades.

Inecuaciones de segundo grado

Para resolver desigualdades de segundo grado o de grado superior es necesario descomponer en factores. Recuerda que para hacer la descomposición factorial dependiendo de la ecuación podemos sacar factor común, resolver la ecuación de segundo grado o aplicar la regla de Ruffini.

Inecuaciones con denominadores

Inecuaciones de grado superior a dos